Abstracts

- Mini-cours : Jean Fromentin, LMPA, Université du Littoral Côte d'Opale : "Le calcul des tresses"

Les tresses ont fait l’objet de plusieurs travaux de recherche ces dernières années, en particulier, parce qu’elles sont assez simples pour obtenir des preuves accessibles et, en même temps, assez difficiles pour donner lieu à des résultats profonds. Dans ce mini cours, après une introduction aux groupes des tresses, nous donnerons une approche algorithmique à trois problèmes : le problème du mot, le problème de conjugaison et l’existence d’un ordre. Les principaux outils que nous utiliserons proviendront de la théorie de Garside. Nous nous intéresserons aussi à certains problèmes combinatoires, résolus ou encore ouverts et nous discuterons du devenir des résultats obtenus aux groupes d’Antin—Tits, généralisation des groupes des tresses.

- Mireille Bousquet-Mélou, LABRI, CNRS, "Le treillis des montées sur les chemins de Dyck"

Plusieurs "posets" définis sur les chemins de Dyck de longueur 2n ont été étudiés ces dernières années : treillis de Stanley, de Tamari, de Tamari glouton, treillis des pyramides... L'accent a souvent été mis sur le dénombrement de leurs intervalles, qui a parfois révélé des liens avec des familles de cartes. Ici nous considérons une variante gloutonne du treillis de Stanley, où les relations de couverture sont obtenues en échangeant un pas descendant avec toute la montée qui le suit. Cet ordre est lié à un treillis plus général introduit récemment par Nadeau et Tewari, et on en déduit qu'il est lui-même un treillis, appelé treillis des montées. Il en va de même pour l'ordre induit sur les m-chemins de Dyck (ceux où toutes les montées sont de hauteur multiple de m). L'ordre induit sur les m-chemins de Dyck miroir (les descentes sont de hauteur multiple de m) n'est plus qu'un semi-treillis supérieur. L'énumération des intervalles révèle des liens avec le dénombrement des marches confinées dans un quadrant. Leur série génératrice est algébrique pour m=1, mais non D-finie pour m>1, que ce soit pour les m-chemins de Dyck ou leur miroir. Pour ces derniers intervalles, on établit un lien bijectif avec les classes de congruence des m-fonctions de parking pour la congruence sylvestre, introduite en 2005 par Hivert, Novelli et Thibon.

Travail en commun avec J.L. Baril, S. Kirgizov et M. Naïma. (https://arxiv.org/abs/2409.15982)

- Mathilde Bouvel, LORIA, Université de Lorraine, "Entre l'ordre de Bruhat et l'ordre faible : l'ordre "du milieu" "

On définit un ordre partiel P_n sur les permutations de toute taille n fixée, que l'on appelle l'ordre "du milieu". Ce nom reflète la propriété que P_n est à la fois un ordre plus fin que l'ordre faible, et un ordre moins fin que l'ordre de Bruhat. On décrira plusieurs interprétations combinatoires de cet ordre, faisant intervenir notamment des séquences d'inversions, et des motifs de permutations. Puis on présentera quelques unes de ses (belles) propriétés, concernant par exemple l'énumération des intervalles de P_n.

Il  s'agit d'un travail commun avec Luca Ferrari et Bridget Tenner.

Le preprint associé est https://arxiv.org/abs/2405.08943

- Nathan Chapelier-Laget, LMPA, Université du Littoral Côte d'Opale, "Longueur atomique dans les groupes de Weyl"

Dans cet exposé j’introduirai une nouvelle fonction de longueur dans les groupes de Weyl d’algèbres de Kac–Moody. Nous verrons comment cette fonction généralise la fonction de longueur usuelle puis nous verrons certaines conséquences en théorie des nombres, notamment la paramétrisation des solutions d’équations de Pell–Fermat via les cœurs généralisés.

- Yann Palu, LAMFA, Université de Picardie, "Catégorification du flip des dissections"

La richesse de la combinatoire des triangulations, et leur lien avec les algèbres amassées, vient en partie de l'existence de "flips". Karin Baur et Raquel Coelho-Simões ont montré qu'il existe un lien profond entre dissections (ou poly-angulations) et certaines algèbres appelées algèbres aimables. L'objectif de cet exposé est d'expliquer ce qu'est le flip d'une dissection, d'après Garver-MacConville et Manneville-Pilaud, et de le catégorifier à l'aide de la théorie des représentations d'algèbres aimables.
Il s'agit de travaux en commun avec Arnau Padrol, Vincent Pilaud et Pierre-Guy Plamondon et avec Mikhaïl Gorsky et Hiroyuki Nakaoka.